Teorie · C10 Geometrie · clasa a VII-a
Triunghiul dreptunghic în clasa a VII-a: teoremele înălțimii și catetei, reciproca lui Pitagora, sinus, cosinus, tangentă
Ce adaugă clasa a VII-a la triunghiul dreptunghic: proiecțiile, teorema înălțimii și teorema catetei, Pitagora cu radicali și reciproca lui, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta, rezolvarea triunghiului dreptunghic și aplicații în pătrat, triunghiul echilateral și hexagon.
De unde vine
Teorema înălțimii apare deja în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.). În cartea a VI-a, propoziția 8 arată că înălțimea dusă din unghiul drept împarte triunghiul în două triunghiuri asemenea cu cel mare, iar consecința ei spune că înălțimea este „medie proporțională” între cele două segmente ale ipotenuzei — adică $AD^2=BD\cdot DC$. Tot Euclid demonstrează, în cartea I, propoziția 48, reciproca teoremei lui Pitagora.
Sinusul, cosinusul și tangenta au apărut din astronomie. Hiparh, un astronom grec care a trăit aproximativ între 190 și 120 î.Hr., este considerat întemeietorul trigonometriei: a alcătuit un tabel de coarde ale cercului, ca să poată calcula mișcările Lunii și Soarelui.
Cuvântul „sinus” are o poveste ciudată. Vine din sanscrită (jyā, „coarda arcului”), a trecut în arabă, unde a fost citit ca un cuvânt care înseamnă „sân” sau „buzunar”, iar Gerard din Cremona, traducând în secolul al XII-lea cărți arabe în latină, l-a redat prin „sinus”, care înseamnă tot „sân”, „cută”.
La ce folosește
Diagonala unui ecran se calculează cu Pitagora, iar acum rezultatul poate fi și un radical: un televizor cu ecranul de $80$ cm pe $45$ cm are diagonala $\sqrt{80^2+45^2}\approx 92$ cm, adică în jur de $36$ de inci.
Tangenta măsoară înclinarea. O rampă pentru scaune cu rotile care urcă $1$ m pe o distanță orizontală de $12$ m are $\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{12}$; cu cât tangenta e mai mică, cu atât rampa e mai ușor de urcat.
Înălțimea unui copac se poate afla fără să te urci în el: stai la $20$ m de copac și, dacă vârful lui se vede sub un unghi de $45^\circ$ față de orizontală, atunci înălțimea (măsurată de la nivelul ochilor) este $20\cdot\operatorname{tg}45^\circ=20$ m. Topografii folosesc aceleași rapoarte pentru distanțe pe care nu le pot măsura direct.
De bază
Din clasa a VI-a știi teorema lui Pitagora, cateta opusă unghiului de $30^\circ$ și mediana pe ipotenuză. În clasa a VII-a lucrezi și cu radicali, așa că o latură nu mai trebuie să fie un număr natural.
Proiecția unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din punct pe dreaptă. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu înălțimea $AD$, $D\in BC$, segmentele $BD$ și $DC$ sunt proiecțiile catetelor $AB$ și $AC$ pe ipotenuză.
Teorema înălțimii: $AD^2=BD\cdot DC$. Teorema catetei: $AB^2=BD\cdot BC$ și $AC^2=DC\cdot BC$.
Exemplu: $BD=4$ cm și $DC=9$ cm. Din teorema înălțimii, $AD^2=4\cdot 9=36$, deci $AD=6$ cm. Ipotenuza este $BC=13$ cm, iar din teorema catetei $AB^2=4\cdot 13=52$, deci $AB=2\sqrt{13}$ cm, și $AC^2=9\cdot 13=117$, deci $AC=3\sqrt{13}$ cm.
Pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic: $\sin=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}$, $\cos=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}$, $\operatorname{tg}=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}$, $\operatorname{ctg}=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}$.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $AB=3$ cm, $AC=4$ cm și $BC=5$ cm. Pentru unghiul $C$, cateta opusă este $AB$, deci $\sin C=\frac{3}{5}$, $\cos C=\frac{4}{5}$, $\operatorname{tg}C=\frac{3}{4}$ și $\operatorname{ctg}C=\frac{4}{3}$.
Mediu
A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a-i afla toate laturile și unghiurile din ce se dă. Pentru unghiurile speciale se folosesc valorile: $\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{tg}45^\circ=1$, $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}$.
Exemplu: în triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $BC=12$ cm și $m(\sphericalangle B)=60^\circ$. Cateta opusă lui $B$ este $AC=BC\cdot\sin 60^\circ=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm, iar cateta alăturată este $AB=BC\cdot\cos 60^\circ=6$ cm. Același rezultat îl dă și regula din clasa a VI-a: $m(\sphericalangle C)=30^\circ$, deci $AB=\frac{12}{2}=6$ cm.
Exemplul 2: catetele au $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Ipotenuza este $10$ cm. Înălțimea se află scriind aria în două feluri: $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{48}{10}=4{,}8$ cm. Din teorema catetei, $BD=\frac{AB^2}{BC}=\frac{36}{10}=3{,}6$ cm și $DC=\frac{64}{10}=6{,}4$ cm. Verificare cu teorema înălțimii: $3{,}6\cdot 6{,}4=23{,}04=4{,}8^2$.
Aplicații pe care le vei folosi mereu: diagonala pătratului cu latura $l$ este $l\sqrt{2}$ (pătratul cu latura $5$ cm are diagonala $5\sqrt{2}$ cm); înălțimea triunghiului echilateral cu latura $l$ este $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ (la latura $8$ cm, înălțimea este $4\sqrt{3}$ cm).
Distanțe care nu se pot măsura direct: alegi un triunghi dreptunghic în care distanța căutată este o latură, măsori o latură accesibilă și un unghi ascuțit, apoi folosești raportul care le leagă — cateta opusă $=$ cateta alăturată $\cdot\operatorname{tg}$, cateta $=$ ipotenuza $\cdot\sin$ sau $\cdot\cos$. Înălțimea unui stâlp: umbra este cateta alăturată unghiului sub care cad razele soarelui, iar înălțimea este cateta opusă. Lățimea unui râu: pe mal faci un unghi drept și măsori o distanță de-a lungul malului. O scară sprijinită de perete: scara este ipotenuza, peretele și solul sunt catetele.
Exemplul 3: vrei lățimea unui râu. Pe malul tău, punctul $A$ este exact în fața unui copac $C$ de pe malul celălalt. Mergi de-a lungul malului, perpendicular pe $AC$, până în $B$, cu $AB=30$ m, și măsori $m(\sphericalangle ABC)=60^\circ$. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $AC=AB\cdot\operatorname{tg}60^\circ=30\sqrt{3}\approx 30\cdot 1{,}73\approx 52$ m.
Avansat
Problemele grele nu spun „aplică teorema catetei”. Ideea este să găsești sau să creezi tu un triunghi dreptunghic.
Ideea 1 — duci o înălțime și scrii aria în două feluri.
Exemplu: triunghiul $ABC$ are $AB=AC=10$ cm și $BC=12$ cm. Înălțimea $AM$ cade în mijlocul lui $BC$, deci $BM=6$ cm și $AM=\sqrt{100-36}=8$ cm. Aria este $\frac{12\cdot 8}{2}=48$ cm$^2$. Înălțimea din $B$ pe $AC$ se află tot din arie: $\frac{AC\cdot h}{2}=48$, deci $h=\frac{96}{10}=9{,}6$ cm.
Ideea 2 — reciproca lui Pitagora demonstrează un unghi drept. Dacă laturile unui triunghi verifică $a^2+b^2=c^2$, unghiul opus laturii $c$ este drept.
Exemplul 2: un triunghi are laturile $7$ cm, $24$ cm și $25$ cm. Cum $49+576=625=25^2$, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de $25$ cm. De aici poți folosi toate teoremele de mai sus, deși nimeni nu a spus că triunghiul e dreptunghic.
Ideea 3 — hexagonul regulat se împarte în șase triunghiuri echilaterale, iar apotema este înălțimea unuia dintre ele.
Exemplul 3: hexagonul regulat are latura de $6$ cm. Apotema este $\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ cm, perimetrul este $36$ cm, iar aria este de șase ori aria unui triunghi echilateral: $6\cdot\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3}$ cm$^2$.
Greșeli frecvente
În teorema catetei, proiecția se înmulțește cu ipotenuza ÎNTREAGĂ, nu cu cealaltă proiecție: $AB^2=BD\cdot BC$, nu $BD\cdot DC$.
Proiecția catetei greșite: proiecția lui $AB$ este $BD$ — segmentul lipit de $B$ —, nu $DC$.
Radicalul nesimplificat sau greșit simplificat: $\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot 13}=2\sqrt{13}$, nu $4\sqrt{13}$ și nici $26$.
Confuzia dintre sinus și cosinus: sinusul folosește cateta opusă unghiului, cosinusul pe cea alăturată. Amândouă se împart la ipotenuză, deci sunt mai mici decât $1$.
Reciproca lui Pitagora verificată pe laturile greșite: suma pătratelor celor două laturi MICI se compară cu pătratul celei mai mari.
Rapoartele trigonometrice folosite într-un triunghi care nu este dreptunghic: întâi găsești sau construiești unghiul drept.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, cartea a VI-a, propoziția 8 și consecința ei: înălțimea din unghiul drept este medie proporțională între segmentele ipotenuzei — mathcs.clarku.edu
- Elementele lui Euclid, cartea I, propoziția 48: reciproca teoremei lui Pitagora — en.wikipedia.org
- Hiparh (c. 190–120 î.Hr.), considerat întemeietorul trigonometriei, a alcătuit un tabel de coarde — en.wikipedia.org
- Cuvântul „sinus”: din sanscrită jyā, prin arabă, în latină prin Gerard din Cremona în secolul al XII-lea — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.