Teorie · C10 Geometrie · clasele VI–VII
Triunghiul dreptunghic: Pitagora, teoremele înălțimii și catetei, sinus, cosinus, tangentă
Teorema lui Pitagora, teorema înălțimii, teorema catetei și rapoartele trigonometrice, explicate de la regula de bază la problemele care cer o idee, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic este mult mai veche decât Pitagora. O tăbliță de lut babiloniană, numită Plimpton 322 și scrisă în jurul anului 1800 î.Hr., conține un tabel de triplete de numere $a$, $b$, $c$ cu $a^2+b^2=c^2$ — deci regula era folosită cu peste o mie de ani înainte ca Pitagora să se nască.
Pitagora a trăit în secolul al VI-lea î.Hr. (aproximativ 570–495 î.Hr.), iar teorema îi poartă numele, deși nu știm sigur dacă el a demonstrat-o. Cea mai veche demonstrație păstrată se află în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.). Și matematicienii chinezi o cunoșteau: cartea „Zhoubi Suanjing” o prezintă pe exemplul triunghiului cu laturile $3$, $4$ și $5$.
Sinusul, cosinusul și tangenta au apărut din astronomie. Hiparh, un astronom grec din secolul al II-lea î.Hr., este considerat întemeietorul trigonometriei: a alcătuit un tabel de coarde ale cercului, ca să poată calcula mișcările Lunii și Soarelui. Cuvântul „sinus” are o poveste ciudată: vine din sanscrită (jyā, „coarda arcului”), a trecut în arabă, unde a fost citit greșit, iar traducătorii latini din secolul al XII-lea l-au redat prin „sinus”, care înseamnă „cută” sau „sân”.
La ce folosește
Zidarii și tâmplarii verifică un unghi drept cu regula „3–4–5”: măsoară $3$ unități pe o latură, $4$ pe cealaltă, și dacă diagonala are exact $5$, unghiul este drept. Este reciproca teoremei lui Pitagora, folosită zilnic pe șantier.
Diagonala unui ecran se calculează tot cu Pitagora: un televizor cu ecranul de $80$ cm pe $45$ cm are diagonala $\sqrt{80^2+45^2}\approx 92$ cm, adică în jur de $36$ de inci.
Sinusul și tangenta măsoară înclinarea. O rampă pentru scaune cu rotile, un acoperiș sau un drum de munte au panta dată de tangenta unghiului: o rampă care urcă $1$ m pe o distanță orizontală de $12$ m are $\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{12}$. GPS-ul și topografii folosesc aceleași rapoarte ca să afle distanțe pe care nu le pot măsura direct.
De bază
Un triunghi dreptunghic are un unghi de $90^\circ$. Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă lui — cea mai lungă — se numește ipotenuză.
Teorema lui Pitagora: în triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $BC^2=AB^2+AC^2$. Pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor.
Exemplu: catetele au $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Atunci $BC^2=36+64=100$, deci $BC=\sqrt{100}=10$ cm.
Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză. Mediana dusă din unghiul drept este tot jumătate din ipotenuză.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $m(\sphericalangle C)=30^\circ$ și $BC=14$ cm. Cateta opusă unghiului $C$ este $AB$, deci $AB=\frac{14}{2}=7$ cm.
Pentru un unghi ascuțit, în triunghiul dreptunghic: $\sin=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}$, $\cos=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}$, $\operatorname{tg}=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}$, $\operatorname{ctg}=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}$.
Mediu
Când în triunghiul dreptunghic $ABC$ ($m(\sphericalangle A)=90^\circ$) se duce înălțimea $AD$, $D\in BC$, apar două teoreme noi. Segmentele $BD$ și $DC$ se numesc proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Teorema înălțimii: $AD^2=BD\cdot DC$.
Teorema catetei: $AB^2=BD\cdot BC$ și $AC^2=DC\cdot BC$ — fiecare catetă, la pătrat, este produsul dintre proiecția ei și ipotenuza întreagă.
Tot de aici vine o formulă foarte folositoare pentru înălțime: $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}$, pentru că aria triunghiului se poate scrie și $\frac{AB\cdot AC}{2}$, și $\frac{BC\cdot AD}{2}$.
Exemplu: $BD=4$ cm și $DC=9$ cm. Din teorema înălțimii, $AD^2=4\cdot 9=36$, deci $AD=6$ cm. Ipotenuza este $BC=13$ cm, iar din teorema catetei $AB^2=4\cdot 13=52$, deci $AB=2\sqrt{13}$ cm, și $AC^2=9\cdot 13=117$, deci $AC=3\sqrt{13}$ cm.
Cum alegi teorema: dacă știi proiecțiile, folosește înălțimea sau catetele; dacă știi catetele, începe cu Pitagora pentru ipotenuză, apoi $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}$.
Avansat
Problemele grele cu triunghiul dreptunghic nu spun de obicei „aplică Pitagora”. Ideea este să creezi tu un triunghi dreptunghic acolo unde nu se vede unul.
Ideea 1 — duci o înălțime. Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf este și mediană, deci taie baza în două și formează două triunghiuri dreptunghice.
Exemplu: triunghiul $ABC$ are $AB=AC=10$ cm și $BC=12$ cm. Înălțimea $AM$ cade în mijlocul lui $BC$, deci $BM=6$ cm și $AM=\sqrt{100-36}=8$ cm. Aria este $\frac{12\cdot 8}{2}=48$ cm$^2$. Dacă se cere înălțimea din $B$ pe $AC$, scrii aria și cu ea: $\frac{AC\cdot h}{2}=48$, deci $h=\frac{96}{10}=9{,}6$ cm. Aria scrisă în două feluri este una dintre cele mai folosite idei.
Ideea 2 — reciproca lui Pitagora demonstrează un unghi drept. Dacă laturile unui triunghi verifică $a^2+b^2=c^2$, atunci unghiul opus lui $c$ este drept.
Exemplul 2: un triunghi are laturile $7$ cm, $24$ cm și $25$ cm. Cum $7^2+24^2=49+576=625=25^2$, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se opune laturii de $25$ cm. Acum poți folosi toate teoremele de mai sus, deși nimeni nu a spus că triunghiul e dreptunghic.
Ideea 3 — în corpuri geometrice, aproape orice distanță se calculează într-un triunghi dreptunghic ascuns: înălțimea piramidei, apotema, diagonala cubului. Caută triunghiul dreptunghic care conține lungimea cerută.
Greșeli frecvente
Adunarea catetelor în loc de pătratele lor: ipotenuza triunghiului cu catetele $6$ și $8$ nu este $14$, ci $\sqrt{36+64}=10$.
Uitarea radicalului: din $BC^2=100$ rezultă $BC=10$, nu $100$.
Scăderea în loc de adunare când se caută ipotenuza. Se scade doar când se caută o catetă: $AB^2=BC^2-AC^2$.
Regula unghiului de $30^\circ$ aplicată pe cateta greșită: jumătate din ipotenuză este cateta OPUSĂ unghiului de $30^\circ$, nu cea alăturată.
În teorema catetei, proiecția se înmulțește cu ipotenuza ÎNTREAGĂ, nu cu cealaltă proiecție: $AB^2=BD\cdot BC$, nu $BD\cdot DC$.
Confuzia dintre sinus și cosinus: sinusul folosește cateta opusă unghiului, cosinusul pe cea alăturată. Amândouă se împart la ipotenuză, deci sunt mai mici decât $1$.
Surse pentru partea istorică
- Tăblița babiloniană Plimpton 322, scrisă în jurul anului 1800 î.Hr., conține triplete pitagoreice — en.wikipedia.org
- Pitagora (c. 570–495 î.Hr.), atribuirea nesigură, demonstrația din Elementele lui Euclid (I.47) și teorema Gougu din Zhoubi Suanjing — en.wikipedia.org
- Hiparh (c. 190–120 î.Hr.), considerat întemeietorul trigonometriei, a alcătuit un tabel de coarde — en.wikipedia.org
- Cuvântul „sinus”: din sanscrită jyā, prin arabă, în latină în secolul al XII-lea — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.